( − = En théorie des probabilités, l'espérance mathématiqued'une variable aléatoire réelleest, intuitivement, la valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. p Exemple de calcul Si les mises sont trop importantes pour permettre un grand nombre de parties, le critère de l'espérance mathématique n'est donc pas approprié. {\displaystyle \varphi } {\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x,} y ∞ un nombre infini de valeurs x1 1 Dans certains cas, les indications de l'espérance mathématique ne coïncident pas avec un choix rationnel. X ) f = ( | ∞ = = {\displaystyle S=64\times {\frac {1}{2}}+32\times {\frac {1}{2}}} x fX de loi de la variable α à chaque partie vous gagnez en moyenne 18 000 euros. ( ( Y . = k = P(X Chapitre 3 : Variables aléatoires 4 Espérance et Variance. ( ′ X X ( − ) p ( aléatoire : ( Espérance d’une variable aléatoire positive 255 Pourjustifierl’existencede EX,oncommenceparnoterquel’application G: R 0,1 , t Gt: PX testdécroissantesur R ,doncRiemannintégrable sur 0,b pourtout b R ,cf.proposition3.10.L’intégrale b 0 Gtdt b 0 PX tdt ( = ( a ( 4 , ] ) {\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} (X\geq k)\quad {\textrm {et}}\quad \mathbb {E} [X^{\alpha }]=\sum _{k\geq 1}\left(k^{\alpha }-(k-1)^{\alpha }\right)\mathbb {P} (X\geq k)} x 0 Une loi de probabilité peut être caractérisée par certaines valeurs typiques correspondant aux notions de valeur centrale, de dispersion et de forme de distribution.. 4.1 Espérance mathématique. | + Espérance mathématique et choix rationnel. i g D - Propriétés de l'espérance conditionnelle . E Les propriétés de l'espérance mathématique démontrent facilement que l'espérance mathématique de la nouvelle variable est égale à 0 : Cette variable est la variable aléatoire centrée. α Variable discrète prenant un nombre fini de valeurs, Variable discrète prenant un ensemble dénombrable de valeurs, Généralisation : espérance d'une fonction d'une variable aléatoire, Cas d'une variable aléatoire réelle positive, Espérance mathématique et choix rationnel, Applications particulières (économie, assurance, finance, jeux), Lettre de Pascal à Fermat du 29 juillet 1654, citée et analysée dans, fonction caractéristique d'une variable aléatoire, Van rekeningh in spelen van geluck/Du calcul dans les jeux de hasard, 1656-1657, Index du projet probabilités et statistiques, Test de Fisher d'égalité de deux variances, Test T pour des échantillons indépendants, Portail des probabilités et de la statistique, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Espérance_mathématique&oldid=173680274, Article manquant de références depuis août 2011, Article manquant de références/Liste complète, Portail:Probabilités et statistiques/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. ∫ ( 1 La présentation intuitive de l'espérance exposée ci-dessus est la conséquence de la loi des grands nombres : l'espérance, si elle existe, est la limite presque-sûre de la moyenne des résultats au cours de plusieurs expériences, quand leur nombre augmente à l'infini. ) E Y 32 Cependant il serait incorrect d'en conclure que l'espérance de X serait égal à ce nombre — En fait, l'espérance de X n'existe pas car la série n'est pas absolument convergente (voir série harmonique). ] x ( . : Si deux variables X et Y d'espérances mathématiques X définition espérance mathématique Publié le 6 novembre 2020 par ~TildeLink () de la rentabilité d'un actif, calculée comme la moyenne des rentabilités dans les différents états de la nature futurs pondérés par leurs probabilités d'occurrence respectives. g α φ . 6 On utilise souvent comme estimateur de l'espérance la moyenne empirique, qui est un estimateur: On considère fréquemment l'espérance comme le centre de la variable aléatoire, c'est-à-dire la valeur autour de laquelle se dispersent les autres valeurs. [ × ⋅ E E x φ {\displaystyle \mathbb {E} \left(\varphi (X)\right)=\sum _{i=1}^{n}\varphi (x_{i})p_{i}.}. ) ≡ ∑ , mathématique se calcul à partir de la densité = y ] ∑ P ) ) ) {\displaystyle \mathbb {R} _{+}} ) i ⋅ • Espérance mathématique et variance • Épreuve de Bernoulli • Loi binomiale • Variables aléatoires continues • Support d’une variable aléatoire continue • Densité de probabilité • Espérance mathématique et variance • Propriétés de l'espérance et de la variance Séance 10 - … X 2 ⋅ La variance d’une variable aléatoire \(V(X)\) est l’espérance mathématique du carré de l’écart à l’espérance mathématique. 10 Savoir Notations : On écrit : . E ) k ( suivant une loi normale = x ( ( {\displaystyle \mathbb {E} \left(\mathbb {E} (X|Y)\right)=\mathbb {E} (X)}, E ∑ L'espérance mathématique est une valeur numérique permettant de mesurer le degré d'équité d'un jeu de hasard. ( suivant une loi Binomiale de paramètre n et p : = X k ) {\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\dotsb +x_{n}p_{n}}{p_{1}+p_{2}+\dotsb +p_{n}}}\;.}. i x φ x {\displaystyle \mathbb {E} (g(X))=\int _{\Omega }g(X)\,\mathrm {d} \mathbb {P} \neq g(\mathbb {E} (X)).}. p Imaginons par exemple qu'on vous fasse la proposition suivante : si vous arrivez à faire un double six avec deux dés, vous gagnez un million d'euros, sinon vous perdez 10 000 euros. Une inégalité célèbre à ce propos est l'inégalité de Jensen pour des fonctions convexes (ou concaves). d X x Il imagine ainsi un jeu de pile ou face et un pot commun de 64 pistoles, le premier joueur à voir apparaître trois fois la face qu'il a choisie remporte la mise. + ∫ = . En d'autres mots, l' espérance mathématique correspond à une moyenne pondérée des résultats d'une expérience aléatoire dans laquelle les facteurs de pondération sont les probabilités d'obtenir chacun des résultats. X E , voir 3e égalité, il est indifférent d'utiliser ≥ « Je n'aime point, disait M., ces femmes impeccables, au-dessus de toute faiblesse. Si X est constante (X = l), E(X | Y) = l. x {\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i},} {\displaystyle (\Omega ,\,{\mathcal {E}},\,\mathbb {P} )\,} ) De manière plus théorique, l'espérance d'une variable aléatoire est l'intégrale de cette variable selon la mesure de probabilité de l'espace probabilisé de départ. L'espérance sert donc à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois. Ce sont ces considérations de risque de ruine(Une ruine est le reste d'un édifice dégradé par le temps ou une destruction plus rapide. {\displaystyle \mathbb {E} [X]} ( {\displaystyle (\mathbb {R} ,\,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} ∞ Puisque l'on peut définir une grandeur (l'espérance) comparable à la moyenne on peut également définir des grandeurs qui en dérivent telles que la variance et l'écart type. X { X X + }, qui signifie que ) M Variable continue : P = {\displaystyle \mathbb {E} [\,{\text{Gain}}_{M}]=-M\times {\frac {36}{37}}\ +35M\times {\frac {1}{37}}\approx -0,027M.} P Définition —  | {\displaystyle \alpha >0} = ] x X = = Ce montant perdu à chaque essai sera en moyenne égal à l’espérance mathématique. F p = Y ) Linéarité de l'espérance mathématique ( x ≠ = ) Ω est un processus adapté à la filtration.. On parlera de sous-martingale si (|) ≥ et de sur-martingale si (|) ≤. ( ) ∫ 6 + g i Comment ajouter mes sources ? x La variance d’une: ou . ) ∫ ⋅ ⋅ ) Soit une variable aléatoire discréte X supposée prendre 1 ( } dans Variable discrète prenant un nombre infini de valeurs : Ainsi, pour une variable aléatoire suivant cette loi, l'espérance est alors m 1 = (a + b)/2 et la variance est m 2 − m 1 2 = (b − a) 2 /12. x = 1 ) ∫ = . P ( ( x α ⋅ i suivant une loi de Poisson de paramètre . ) 1 Pascal imagine ainsi que le jeu s'interrompt alors que le lancer de dé est PPF. X 3 ( p P P Elle se note , p2 M ) ) y Les valeurs de X ne se répartissent donc pas équitablement de part et d'autre de l'espérance. x × = Dans l'expression intégrale de Espérance Espérance C2 = 72 Variance C2 = 376 Ecart type C2 = 19.3907194 C'3 P(C'3) C'3 P(C'3) C'3² C'3² P(C'3) 40 0.4 16 1600 640 50 0.2 10 2500 500 120 0.4 48 14400 5760 Somme 74 6900 Espérance Espérance C3 = 74 Variance C3= 1424 Ecart type C3= 37.7359245 Projet 2 ( p . L'espérance conditionnelle E( X | Y) est elle-même une variable aléatoire, dont la valeur dépend de la valeur de Y. À noter que l'espérance conditionnelle de X sachant l'événement [Y = y] est une fonction de y.Si on note E( X | Y = y) = g(y), alors la variable aléatoire E( X | Y) est tout simplement g(Y). Une chance sur un million de gagner un million peut donc valoir dans ce cas précis bien davantage qu'un euro. = 055 Y X Il faudra ensuite soustraire le carré de l’espérance. e L’espérance mathématique d’une va-riable aléatoire 1 Les variables aléatoires étagées. φ On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire p X ω Si X est une variable aléatoire positive ou nulle, alors E(X + Y) = E(X) + E(Y), X et Y étant deux variables aléatoire. Il s’agit donc du centre de masse du support de X muni de la mesure de probabilité associée. {\displaystyle \mathbb {E} (X)} P F Pourtant, la probabilité que 5 essais ou moins suffisent vaut près de 0,6 et la probabilité que 7 lancers ou plus soient nécessaires est de 0,33. ) + E ) b + d Désignons par El’ensemble de toutes les variables aléatoires réelles étagées définies sur :A tout élément Xde Enous associons un nombre appelé espérance mathématique de X, noté IE(X), et x E y k ( p1 ) ( | L'espérance est une caractéristique importante d'une loi de probabilité : c'est un indicateur de position. φ ∑ Pour la variance, tu peux calculer l’intégrale de x²f(x) sur [2 ;4] en utilisant une méthode analogue. ) Dans certains cas, les indications de l'espérance mathématique ne coïncident pas avec un choix rationnel. L'espérance est fortement liée à l'idée de moyenne. x 36 Il n'existe pas toujours d'espérance pour une variable aléatoire. X C'est notamment le cas quand S est fini. x Dans le cas où celle-ci prend un nombre fini de valeurs, il s'agit d'une moyenne pondérée par les probabilités d'apparition de chaque valeur. i Propriétés. + d ) En effet, la notion de hasard empêche de prédire le résultat d'une seule expérience aléatoire mais la loi des grands nombres permet de mieux maitriser le résultat si on exécute un grand nombre d'expériences aléatoires de même type. 000 ) n X ) x Or et , d'après la définition d'une loi marginale. Cette formule est un des avatars de la formule d'intégration par parties, comme on le voit dans le cas particulier où la fonction de répartition de X est continument dérivable. x R ( 36 φ = x {\displaystyle \mathbb {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\dotsb +x_{n}p_{n}\;. 000 θ P Pascal ne parle pas de probabilité ni d'espérance de gain mais son idée intuitive reste d'associer un gain à une chance de l'obtenir[2]. ( 1 ) on appelle espérance mathématique de la variable aléatoire E n k E i ⋯ Le problème tient justement sur ce « en moyenne » : si les gains sont extrêmement importants, ils n'interviennent que relativement rarement, et pour avoir une garantie raisonnable de ne pas finir ruiné, il faut donc avoir suffisamment d'argent pour participer à un grand nombre de parties. ) x + p ( Gain 2 Dans le cas où une variable aléatoire peut prendre les valeurs xi associées aux probabilités pi, la moyenne arithmétique est appelée espérance mathématique m ou E(X) : Car ∑ (pi) = 1. ≥ On peut donc interpréter l'espérance comme la valeur moyenne que l'on peut "espérer" obtenir en répétant une exprérience aléatoire un nombre de fois assez grand. [ = x − x E {\displaystyle m=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3,5.} k : ) = {\displaystyle \varphi \circ X} X ( Elle apparaît souvent dans la peinture occidentale avec pour effet de donner un caractère romantique au...) qui conduisirent, à partir de son " paradoxe de Saint Petersbourg ", le mathématicien(Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son...) Daniel Bernoulli à introduire en 1738 l'idée … = 1 64 B Plus généralement, si φ {\displaystyle \varphi } est positive, continu… Espérance : indicateur de chance ou de risque moyen. 4 6 = ∈ − X ∑ − 35 Pour toute constante , (trivial) Pour toute constante , (trivial) (démonstration hors programme) Démonstration Montrons d'abord que si et si existent, alors, aussi. Evelyn: Espérance mathématique dans le contexte des jeux. Définition Soit (;A;P) un espace de probabilité. y ∞ On raconte qu'Henri Poincaré s'en serait servi, avec d'autres indices, pour mettre en évidence la malhonnêteté de son boulanger[5]. ) = ( ∑ Positivité : si P(X 0) 1 alors E(X) 0 Espérance d’une constante K: si P(X K) 1,K cte alors E(X) K Linéarité: si, pour N VA X1,..,XN, k N Y k X 1 alors ( ) ( ) 1 k N E Y k E X est positive, continument dérivable, croissante sur x X y ) > + 0 d + ∞ x {\displaystyle \mathbb {E} (aX+bY)=a\mathbb {E} (X)+b\mathbb {E} (Y)}. a) Lors d'une soirée casino organiséee par votre école, on vous propose de miser 3,50$ pour lancer une pièce de monnaie trois fois et recevoir 2$ par côté «face» obtenu. X μ y ) E X ) , ....., 1 0 > C’est le « gain moyen ». Espérance mathématique et choix rationnel. Soit X une variable aléatoire de l'espace probabilisé . {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}=c\,\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dotsb \right).} En notant ses valeurs x1, ..., xn et p1, ..., pn les probabilités correspondantes, l'espérance devient : E Propriétés de l'espérance mathématique. Désignons par El’ensemble de toutes les variables aléatoires réelles étagées définies sur :A tout élément Xde Enous associons un nombre appelé espérance mathématique de X, noté IE(X), et , + × }, Comme la somme des probabilités est égale à 1, l'espérance peut être considérée comme la moyenne des xi pondérée par les pi + ∞ Ω E(X). L’espérance conditionnelle possède les propriétés suivantes L’espérance conditionnelle est linéaire : [+ |] = [|] + [|] Son espérance vaut : Si vous souhaitez plus d'informations sur l'Espérance mathématique : cliquez ici. ] Ainsi la série qui prendrait les valeurs 1, -2, 3, -4, ... avec les probabilités c/12, c/22, c/32, c/42, ..., où c = 6⁄π2 est choisi de telle sorte que la somme des probabilités donne 1, donnerait pour somme infinie : x Plutôt que de passer par une notion de prime, on peut directement établir une fonction d'utilité, associant à tout couple {gain, probabilité} une valeur. Cette propriété permet de déterminer l’espérance de X + Y simplement à l’aide de celles de X et Y (donc sans la connaissance de la loi de probabilité de X + Y). 1 E F Y , x2 , x3, Elle forme, avec la variance, indicateur de dispersion, l'ensemble des indicateurs qui sont presque systématiquement donnés quand est présentée une variable aléatoire. ) Ce sont ces considérations et de risque de ruine qui conduisirent, à partir de son « paradoxe de Saint-Pétersbourg », le mathématicien Daniel Bernoulli à introduire en 1738 l'idée d'aversion au risque qui conduit à assortir l'espérance mathématique d'une prime de risque pour son application dans les questions de choix. notée φ(x) dont l'espérance, lorsqu'elle existe, s'écrit en remplaçant x par φ(x) dans les formules précédentes (théorème de transfert). définit une nouvelle variable aléatoire réelle P {\displaystyle ux)\,\mathrm {d} x} x ∑ L’espérance mathématique d’une: ou . Donc, le jeu est avantageux pour l'organisme qui offre le jeu. ) ∑ = X n ≥ a x Propriétés Caractérisation de l'espérance conditionnelle. Cette moyenne était trop loin de l'espérance et indiquait une malversation du commerçant. φ | Y = = Espérance d’une variable aléatoire positive 255 Pourjustifierl’existencede EX,oncommenceparnoterquel’application G: R 0,1 , t Gt: PX testdécroissantesur R ,doncRiemannintégrable sur 0,b pourtout b R ,cf.proposition3.10.L’intégrale b 0 Gtdt b 0 PX tdt En particulier, il est intéressant de considérer la variable aléatoire à valeurs complexes φ(X) = eiθX (où θ est un réel) dont l'espérance mathématique est la transformée de Fourier inverse de fX (dans le cas où {\displaystyle \mathbb {E} (X)=\int _{\Omega }X(\omega )\mathrm {d} \mathbb {P} (\omega )=\int _{\mathbb {R} }x\mathrm {d} \mathbb {P} _{X}(x).} + {\displaystyle (F,\,{\mathcal {F}})} Il est probable que vous refuserez de jouer. d ) ( ​Forme fonctionnelle y=ax+by=ax+b où a=ΔyΔx=y2−y1x2−x1a=ΔyΔx=y2−y1x2−x1 Forme générale 0=Ax+By+C0=Ax+By+C où A,B,C∈ZA,B,C∈Z. X ( est une fonction de y (en fait une variable aléatoire). Y n x ) ( P Une martingale est un type de processus stochastique (c'est-à-dire aléatoire) dynamique, tel que son espérance mathématique à l'instant dépend de l'information disponible à une certaine date , dénotée : (|) = (avec ≤). x x {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left(\mathbb {E} (X|Y)\right)&=\sum \limits _{y}\mathbb {E} (X|Y=y)\cdot \mathbb {P} (Y=y)\\&=\sum \limits _{y}\left(\sum \limits _{x}x\cdot \mathbb {P} (X=x|Y=y)\right)\cdot \mathbb {P} (Y=y)\\&=\sum \limits _{y}\sum \limits _{x}x\cdot \mathbb {P} (X=x|Y=y)\cdot \mathbb {P} (Y=y)\\&=\sum \limits _{y}\sum \limits _{x}x\cdot \mathbb {P} (Y=y|X=x)\cdot \mathbb {P} (X=x)\\&=\sum \limits _{x}x\cdot \mathbb {P} (X=x)\cdot \left(\sum \limits _{y}\mathbb {P} (Y=y|X=x)\right)\\&=\sum \limits _{x}x\cdot \mathbb {P} (X=x)\\&=\mathbb {E} (X)\end{aligned}}}, E Y [ . X ( X ( Pour calculer l’espérance de X, il suffit de calculer l’intégrale de xf(x) sur [2 ;4], tu peux y arriver en faisant apparaître une forme de type u’/u. Dans ce cas, l’espérance mathématique se calcule de la façon suivante : la probabilité d’obtenir un 6 est 1 6; si vous gagnez, votre gain sera de 10 × 0, 50 $ × 1 6, soit environ 0,83 $; comme vous dépensez à chaque lancer une mise de 0,50 $, votre gain net sera de 0,33 $, soit : 0,83 – 0,50 = 0,33, en moyenne. E ∑ Le poids d'un pain annoncé à 1 kg, par exemple, peut fluctuer autour de cette valeur. Fonction génératrice des cumulants. = X 0 18 Linéarité de l'espérance mathématique : pour tout réel a et b et toutes variables aléatoires X et Y d'espérance mathématiques E(X) et E(Y) on a : E(aX + bY) = a E(X) + bE(Y) φ